که ، و مشخصات نوسان کننده‌ n ام لورنتسی هستند و نرخ برخورد الکترون‌ها در مدل درود است. بررسی پلاسمون پلاریتون‌های سطحی در مرز فلز-عایقپلاسمون‌ پلاریتونهای سطحی (SPPs) امواج الکترومغناطیسی هستند که روی سطح فلز و دی‌الکتریک منتشر می‌شوند و دامنه آن بهطور نمایی با فاصله گرفتن از سطح کاهش می‌یابد. بنابراین SPPs موج الکترومغناطیسی سطحی است که میدان‌های آن به شدت به سطح محدود هستند و بههمین دلیل شدت میدان‌ها روی مرز خیلی زیاد می‌باشد. SPPs بهطور فوق العاده‌ای به شرایط سطح حساس هستند. این حساسیت بهطور گسترده برای مطالعه مواد جذب شده روی سطح، ناهمواری‌های سطوح، ساخت حسگرهای[48] شیمیایی و زیستی و پدیده‌های مشابه استفاده می‌شود. در این بخش می‌خواهیم اصول SPPs را در مرز مسطح بین یک فلز و دی‌الکتریک و در یک ساختار چند لایه فلز و دی‌الکتریک بررسی کنیم، روابط میدان‌ها و روابط پاشندگی بیان خواهند شد و در هر قسمت برای درک بهتر مطالب مثالهایی ذکر خواهد شد. معادله موجمیدانهای الکترومغناطیسی در مرز بین فلز و دی‌الکتریک از حل معادلات ماکسول و سپس اعمال شرایط مرزی مناسب بدست می‌آیند. این شرایط مرزی عبارتند از : پیوستگی مولفه‌های مماسی میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی تضعیف میدانها بصورت نمایی در دو طرف مرز. برای بدست آوردن میدان‌ها، از معادلات ماکسول شروع می‌کنیم. از رابطه (2-1-ج) کرل می‌گیریم و سپس رابطه (2-1-د) را با فرض صفر بودن در آن جایگذاری می‌کنیم. 2-29 با استفاده از اتحادهای و و اینکه در غیاب بار خارجی معادله (2-1-الف) برابر است با ، خواهیم داشت: 2-30 با در نظر گرفتن آنکه تغییرات ɛ روی فواصلی از مرتبه طول موج مورد نظر خیلی ناچیز است، معادله (2-30) به فرم رابطه زیر ساده می‌شود: 2-31 پس برای نواحی با ɛ ثابت معادله بالا را حل می‌کنیم و سپس با اعمال شرایط مرزی ضرایب میدان را بدست می‌آوریم. در مرحله بعد برای ساده‌تر شدن کار فرض می‌کنیم وابستگی زمانی میدان به صورت باشد. از جایگذاری آن در رابطه (2-31) خواهیم داشت ( البته همانطور که می‌دانید این فرض از کلیت مسئله نمی‌کاهد زیرا هر میدانی با هر وابستگی زمانی را می‌توان با استفاده از تبدیل فوریه به صورت مجموعی از امواج صفخه‌ای به فرم بالا نوشت): 2-32 بردار موج در خلا می‌باشد. معادله‌ (2-32) همان معادله هلمهوتز[49] است. برای بدست آوردن میدان‌ها مجبوریم ساختار مورد نظر و شرایط فیزیکی آن را به معادله (2-32) اعمال کنیم. برای سادگی مسئله را دو بعدی در نظر می‌گیریم. فرض می‌کنیم تغییرات فضایی ɛ به صورت باشد، تغییرات میدان‌ها نسبت به y صفر باشد ( ) و راستای انتشار را هم در جهت x در نظر می‌گیریم (شکل (‏2-4)). بنابراین می‌توان میدان E را به صورت در نظر گرفت. ثابت انتشار یا مولفه بردار موج در راستای x می‌باشد. از جایگذاری E در رابطه (2-32) خواهیم داشت: 2-33 شکل ‏24: ساختار یک موجبر مسطح که در آن موج در دستگاه مستطیلی در راستای x منتشر می شود.اگر از رابطه (2-1-د) شروع کنیم، کرل بگیریم و ادامه دهیم معادله‌ای مشابه رابطه‌ی (2-33) برای میدان H بدست می‌آید. معادله (2-33) که آن را تحت عنوان معادله موج می‌شناسیم نقطه شروع برای بدست آوردن میدان‌ها می‌باشد. بعد از حل رابطه (2-33) و بدست آوردن میدان ، می‌توان با استفاده از دو رابطه (2-1-ج) و (2-1-د) سایر مولفه‌های E و Hرا بدست آورد (برای میدان‌هایی که وابستگی آنها به زمان بصورت می‌باشد، است). بنابراین از بسط معادلات (2-1-ج) و (2-1-د) خواهیم داشت: 2-34-الف 2-34-ب 2-34-ج 2-34-د 2-34-ه 2-34-و انتشار در راستای x معادل با و ثابت بودن میدان در راستای y نیز معادل با می‌باشد. با اعمال این دو به روابط بالا معادلات به صورت روابط زیر ساده می‌شوند: 2-35-الف 2-35-ب 2-35-ج 2-35-د 2-35-ه 2-35-و به سادگی می‌توان نشان داد که معادلات بالا دو دسته میدان با قطبشهای مختلف (TE، TM) را پشتیبانی می‌کنند. دسته اول، میدان‌ها با قطبش TM که در آن مولفه‌های ، ، غیر صفر هستند و دسته دوم میدان‌های با قطبش TE مولفه‌های ، ، غیر صفر هستند. برای مد TM معادلات (2-35-الف) تا (2-35-و) به صورت زیر ساده می‌شوند: 2-36-الف 2-36-ب و معادله موج که برابر است با 2-36-ج برای مد TE نیز روابط به صورت زیر ساده می‌شوند: 2-37-الف 2-37-ب 2-37-ج رابطه پاشندگی پلاسمون پلاریتون‌های سطحیدر این بخش با توجه به روابطی که در بخش (2-4-1) بدست آوردیم، ابتدا میدان‌ها را در ساده‌ترین ساختاری که اجازه انتشار SPPs را می‌دهد، بدست آورده و سپس رابطه پاشندگی را پیدا می‌کنیم. سادهترین ساختاری که امکان وجود امواج SPPs را بوجود می‌آورد، مرز مسطح بین یک فلز و یک دی‌الکتریک می‌باشد (شکل(‏2-5)). البته با توجه به شرط اینکه فرکانس به گونه‌ای باشد که قسمت حقیقی ضریب دی‌الکتریک فلز در آن محدوده فرکانسی منفی و ضریب دی‌الکتریک ماده مجاور مثبت باشد. در شکل (‏2-5) ناحیه یک محیط دی‌الکتریک غیر جذبی با ثابت دی‌الکتریک و یک فلز با ضریب دی‌الکتریک مختلط می‌باشد. با توجه به آنچه در قسمت قبل بیان کردیم امواج منتشر شده در ساختار‌هایی با چنین هندسه‌ای را می‌توان به دو دسته TM و TE تقسیم کرد. ابتدا از مد TM شروع می‌کنیم. با حل رابطه (2-36-ج) برای ناحیه ، به صورت زیر بدست می‌آید: از آنجایی که می‌خواهیم میدان‌ها در جهت z (راستای عمود بر سطح) به صورت نمایی تضعیف شوند و در این ناحیه، می‌باشد (با فرض ) پس ضریب باید صفر باشد. خواهد شد: شکل ‏25: مرز مشترک بین یک فلز و یک دیالکتریک سادهترین ساختار برای انتشار SPPs است.2-38-الف با استفاده از روابط (2-36-الف) و (2-36-ب) نیز میدان‌های و به صورت زیر بدست می‌آیند: 2-38-ب 2-38-ج برای ناحیه‌ی نیزمشابه آنچه گفته شد میدان‌ها به‌صورت زیر بدست می‌آیند: 2-39-الف 2-39-ب 2-39-ج در روابط بالا و مولفه‌های بردار موج در راستای z هستند و عبارتند از : 2-40-الف 2-40-ب برای بدست آوردن ثابت‌ها، شرایط مرزی یعنی پیوستگی مولفه‌های مماسی میدان‌ها ( ، ) را اعمال می‌کنیم. از پیوستگی مولفه‌ی در خواهیم داشت: 2-41 و از پیوستگی مولفه‌ی در نیز خواهیم داشت: 2-42 با جایگذاری رابطه‌ی (2-41) در رابطه (2-42) داریم: 2-43 با توجه به مثبت بودن k ها (برای اینکه میدان‌ها در جهت z به صورت نمایی تضعیف شوند یا به عبارت کلی‌تر میدان‌ها سطحی باشند) برای برقراری رابطه (2-43) باید قسمت حقیقی (تابع دی‌الکتریک فلز) منفی باشد، البته با این شرط که باشد. برای فلزات این شرط در محدوده فرکانسی برقرار است. برای بدست آوردن رابطه پاشندگی SPPs دو طرف رابطه (2-43) را به توان دو می‌رسانیم و روابط (2-40-الف) و (2-40-ب) را در آن جایگذاری می‌کنیم نهایتا به صورت زیر بدست می‌آید[8]: 2-44 قبل از بحث کردن در مورد رابطه پاشدگی بدست آمده، امکان وجود مد TE را روی سطح بررسی می‌کنیم. در این حالت با استفاده از روابط (2-37-الف) تا (2-37-ج) میدان‌ها در دو ناحیه و به صورت زیر بدست می‌آیند: 2-45-الف 2-45-ب 2-45-ج برای ، و 2-46-الف 2-46-ب 2-46-ج برای با اعمال شرایط مرزی یعنی پیوستگی مولفه‌های مماسی روابط زیر بدست می‌آیند: 2-47 2-48 با جایگذاری رابطه (2-47) در رابطه (2-48) خواهیم داشت: 2-49 با توجه به اینکه برای سطحی بودن میدان‌ها و ، برای برقراری رابطه (2-49) باید باشد و در نتیجه یعنی مد سطحی با پلاریزاسیون TE وجود ندارد[8]. بنابراین امواج سطحی‌ای که در مرز بین یک فلز و دی‌الکتریک وجود دارند، روابط میدانهای E، H آنها به صورت روابط (2-38) تا (2-39) می‌باشد. در نتیجه رابطه پاشندگی آنها از رابطه (2-44) تبعیت می‌کند و پلاریتون پلاسمون‌های سطحی (SPPs) نامگذاری می‌شوند. حال می‌خواهیم با نگاه دقیق‌تر به رابطه پاشندگی SPPs (رابطه (2-44)) خصوصیات آنها را دقیق‌تر بررسی کنیم. همان‌طور که در بخش (2-2) دیدید با فرض ناچیز بودن برای فلزات، در فرکانس‌های خیلی بالا تابع دی‌الکتریک را می‌توان بصورت زیرتقریب زد: 2-50 تقریبی که معمولا همه جا برای تابع دی‌الکتریک فلز به کار می‌رود اما هرگز رابطه دقیقی نبوده است. با جایگذاری آن در رابطه پاشندگی (2-44) و نرمالیزه کردن ، نسبت به رابطه زیر بدست می‌آید: 2-51 شکل (شکل ‏26) رابطه (2-51) و رابطه پاشندگی نور در محیط‌ دی‌الکتریک را نشان می‌دهد. شکل ‏26: منحنی پاشندگی برای سطح مشترک یک فلز با مدل درود با ضریب خاموشی ناچیز و دیالکتریک هوا(منحنی خاکستری رنگ) و دی الکتریک سیلیکا(منحنی سیاه رنگ).همان‌طور که قبلا گفتیم برای اینکه امواج در محیط دی‌الکتریک در جهت عمود بر سطح به صورت نمایی تضعیف شوند، باید باشد، یعنی با توجه به رابطه (2-40-الف) باید باشد. پس قسمتی از شکل رابطه پاشندگی SPPs قابل قبول است. بنابراین تکنیک‌های خاصی برای تطابق فازی از قبیل تزویج به روش منشور یا توری نیاز هست تا بتوان SPPs را روی سطح تحریک کرد. این روش‌ها مفصلا در بخش (2-8) بحث خواهد شد. حالت کلی‌تر آنچه در بالا گفتیم حالتی است که فلز را بصورت در نظر بگیریم. در این صورت با فرض مولفه‌های حقیقی و موهومی (ثابت انتشار در راستای x) به صورت زیر بدست می‌آیند[13]. 2-52 2-53 2-54 گسترش فضایی امواج SPPs همانطور که در قسمت قبل مشاهده کردید برای بدست آوردن میدان‌ها در دو محیط فرض کردیم مولفه بردار موج در راستای عمود بر سطح، حقیقی و مثبت باشد تا میدان‌ها به صورت نمایی در دو طرف سطح تضعیف شوند و در واقع موج سطحی داشته باشیم. مقدار عمق پوسته که میدان‌ها در آن به 1/e مقدار اولیه خود می‌رسند برابر است با این طول در داخل دی‌الکتریک برابر است با: 2-55 و در داخل فلز : 2-56 در برای نقره و و برای طلا و می‌باشد. بد نیست مقایسه‌ای هم داشته باشیم بین مولفه‌های طولی و عرضی میدان‌ها در طول موج ‌های مختلف و در های کوچک یا بهطور متناظر فرکانس‌های پایین (Mid-Infrared یا پایین‌تر). در داخل دی‌الکتریک نسبت مولفه عرضی به مولفه طولی میدان برابر است با: 2-57 همانطور که از رابطه بالا مشاهده می‌کنید در محدوده بردار موج‌های کوچک یا فرکانس‌های کم (Mid-Infrared یا پایین‌تر) مولفه عرضی غالب است و رابطه پاشندگی SPPs هم در این محدوده به رابطه پاشندگی نور در داخل محیط دی‌الکتریک نزدیک است و SPPs می‌توانند خیلی راحت از سطح خارج شده، به فوتون تبدیل شوند. اما برای های بزرگ یا فرکانس‌های زیاد مولفههای طولی و عرضی قابل مقایسه می‌باشند و در فرکانس با یکدیگر برابر هستند، یعنی SPPsدر فرکانس‌های بالاتر بیشتر به سطح فلز محدود می‌شوند و نمی‌توانند به آسانی به فوتون تبدیل و از سطح خارج شوند[13]. عمق نفوذ پلاسمون‌های سطحی دسته کوچکی از SPPs که از اهمیت زیادی برخوردارند پلاسمون‌های سطحی هستند. در واقع پلاسمون‌های سطحی یک حالت حدی از SPPs هستند، هنگامی‌ که طول موج در راستای انتشار () به سمت بینهایت میل کند. در این حالت با جایگذاری تابع دی‌الکتریک فلز (2-22) در رابطه (2-24) فرکانس نوسان پلاسمون‌های سطحی بهصورت زیر بدست می‌آید: 2-58 در این حالت سرعت گروه ( ) و همچنین سرعت فاز هر دو به صفر میل می‌کنند یعنی موج سطحی حالتی الکتروستاتیک پیدا می‌کند. بهعلاوه می‌توان این امواج و همچنین رابطه پاشندگی آن‌ها را به صورت مستقیم از حل معادله‌ی لاپلاس ( ) بدست آورد. شکل (2-5) را در نظر بگیرید. برای چنین ساختاری جواب به‌گونه‌ای که در راستای z به صورت نمایی تضعیف شود برابر است با: 2-59 برای z>0 و 2-60 برای z<0 . با توجه به رابطه‌ی ، می‌باشد و بنابراین طول واهلش، در محیط دی‌الکتریک و فلز یکسان می‌باشد. هم‌چنین شرایط مرزی یعنی پیوستگی مولفه مماسی میدان و مولفه عمودی جابجایی الکتریکی شرایط و را به جواب‌ها اعمال می‌کنند. در این حالت با جایگذاری در رابطه تابع دی‌الکتریک فلز (2-22)، همان عبارت (2-58) برای فرکانس نوسان پلاسمون‌های سطحی بدست می‌آید[13]،[8]. طول انتشار پلاسمونهای سطحیشدت SPPs به خاطر میرایی الکترون‌های آزاد و گذارهای بین باندی با ضریب کاهش پیدا می‌کند. (مولفه موهومی بردار موج در راستای x می‌باشد (رابطه 2-54)). طول که بعد از آن شدت میدان به 1/e مقدار اولیه خود می‌رسد برابر است با 2-61 به طور کلی این طول در ناحیه مرئی بین 10 تا mµ 100 ناحیه می باشد. در ناحیه مرئی برای نقره در طول موج برابر است با و در برابر با می‌باشد. انرژی جذب شده فیلم را گرم می‌کند و می‌توان آن‌را توسط یک سلول فوتواکوستیک اندازه گرفت [13]،[8]. شکل (شکل ‏27) رابطه پاشندگی SPPs را در مرز نقره-هوا و نقره-اکسید سیلیسیوم نشان می‌دهد. برای تابع دی‌الکتریک نقره، نتایج بدست آمده توسط جانسون و کریستی در نظرگرفته شده است. از مقایسه این منحنی با شکل (شکل ‏26) که در آن میرایی، SPPs را در نظر نگرفته بودیم در می‌یابیم که بردار موج در فرکانس پلاسمون‌های سطحی مقداری محدود دارد. در این حالت و هر دو مقداری محدود پیدا می‌کنند. این بخش را با ذکر یک مثال از طول انتشار و میزان محدود بودن SPPs به سطح به پایان می‌رسانیم. همان‌طور که از رابطه پاشندگی ملاحظه می‌کنید و (عمق نفوذ داخل دی‌الکتریک) هر دو وابستگی شدیدی به فرکانس دارند. SPPs در فرکانس‌های نزدیک به فرکانس به شدت به سطح فلز محدود هستند و طول انتشار آنها روی سطح فلز کم می‌باشد. بهعنوان مثال برای SPPs در مرز نقره-هوا در ، و می‌باشد و در ، و می‌باشد. یعنی هرچه SPPs بیشتر به سطح محدود شوند طول انتشار آن‌ها نیز کاهش می‌یابد. در واقع یک مصالحه بین انتشار و عمق نفوذ وجود دارد که منحصرا از ویژگیهای پلاسمونیک است. در داخل فلز میدان‌ها روی فواصلی از مرتبه nm 20 در محدوده فرکانسی مرئی تا مادون قرمز از بین می‌روند [13]. شکل ‏27: رابطه پاشندگی SPPs در مرز نقره-هوا (منحنی خاکستری رنگ) و نقره-سیلیکا (منحنی سیاه رنگ)، با درنظر گرفتن قسمت موهومی تابع دیالکتریک نقره[8].بررسی خواص SPPs در سیستم‌های چند لایهتا کنون ما فیزیک SPPs را فقط روی سطح صاف یک فلز نیمه بینهایت بررسی کردیم اما SPPs در فیلم‌های نازک نیز وجود دارند و خصوصیات آنها به ضخامت فیلم و هم‌چنین خواص دی‌الکتریک محیط بستگی دارد. اکنون به بحث تولید امواج پلاسمون سطحی در سیستمهای چندلایه میپردازیم. SPPs را میتوان در فیلمهای نازک فلز یا دیالکتریک که به ترتیب بین دو محیط دیالکتریکی یا فلزی قرار گرفته باشند، تولید کرد. زمانی که جداسازی بین دو سطح مجاور کمتر از طول واهلش در راستای عمود بر سطح مشترک ( در اینجا راستای z) باشد، برهمکنش بین SPPها باعث به وجود آمدن مدهای تزویج شده میشود. دو سیستم سه لایه که در شکل (شکل ‏28) نشان داده شده است را بررسی میکنیم.  

 نکته مهم : هنگام انتقال متون از فایل ورد به داخل سایت بعضی از فرمول ها و اشکال (تصاویر) درج نمی شود یا به هم ریخته می شود یا به صورت کد نشان داده می شود ولی در سایت اصلی می توانید فایل اصلی را با فرمت ورد به صورت کاملا خوانا خریداری کنید: سایت مرجع پایان نامه ها (خرید و دانلود با امکان دانلود رایگان نمونه ها) : jahandoc.com   شکل ‏28: ساختار یک سیستم سه لایه که در آن یک لایه نازک(محیط ) بین دو لایه ضخیم(محیط و محیط ) قرار گرفته است.ابتدا یک سیستم لایه نازک فلزی که بین دو لایه نیمه بینهایت دیالکتریک قرار گرفته باشد را تحلیل میکنیم. این ساختار با عنوان دیالکتریک-فلز-دیالکتریک[50] (IMI) شناخته میشود. ساختار دوم یک لایه نازک دیالکتریک است که بین دو لایه نیمه بینهایت فلزی قرار میگیرد. این ساختار نیز با نام فلز-دیالکتریک-فلز[51] (MIM) تعریف میشود. بحث را در مورد مدهای با قطبش TM که در راستای عمود بر سطح مشترک غیرنوسانی هستند شروع میکنیم. با توجه به شکل ‏28) ضخامت لایه میانی 2a در نظر گرفته شده است. با حل معادله (2-36-ج) برای مولفههای میدان خواهد بود: 2-62-الف 2-62-ب 2-62-ج برای نیز داریم: 2-63-الف 2-63-ب